线性方程组什么时候无解？多个解？有唯一解？

一。非齐次线性方程组，无解，多解，唯一解

非齐次线性方程组，就是方程组的等式右边不为0的方程组，系数加上方程等式右边的矩阵，叫做增广矩阵

【例1】求解下列线性方程组

化简后的有效方程组个数小于未知数个数，有多个解化简后的有效方程组个数小于未知数个数，有多个解。

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪ 2x1+3x2+x3=2 x1−2x2+2x3=4 3x1+x2+3x3=6 { 2x1+3x2+x3=2 x1−2x2+2x3=4 3x1+x2+3x3=6

第一步，先列出增广矩阵，

⎛⎝⎜⎜⎜⎜2133−21123|2|4|6⎞⎠⎟⎟⎟⎟(231|21−22|4313|6)

第二步，用高斯消元法化简，化简成阶梯矩阵

先把第2行换到第1行

⎛⎝⎜⎜⎜⎜123−231213|4|2|6⎞⎠⎟⎟⎟⎟(1−22|4231|2313|6)

，第2行减第1行的2倍，第3行减第1行的3倍，得到

⎛⎝⎜⎜⎜⎜100−2772−3−3|4|−6|−6⎞⎠⎟⎟⎟⎟(1−22|407−3|−607−3|−6)

，第3行减第2行，得到

⎛⎝⎜⎜⎜⎜100−2702−30|4|−6|0⎞⎠⎟⎟⎟⎟(1−22|407−3|−6000|0)

，化简后的方程组，等于

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪ 2x1+3x2+x3=2 7x2−3x3=6 0x1+0x2+0x3=0 { 2x1+3x2+x3=2 7x2−3x3=6 0x1+0x2+0x3=0

这样，x2x2可以通过x3x3来表示，x1x1也可以通过x3x3来表示，这样x3x3就叫做自由变量，x3x3可以取任意值。所以x1,x2,x3x1,x2,x3就有无穷多个解。

可见，化简后的有效方程组个数，小于未知数个数。

有效方程组个数=2，未知数个数=3

化简后的有效方程组个数，小于未知数个数。这样的方程组有无穷多个解化简后的有效方程组个数，小于未知数个数。这样的方程组有无穷多个解。

【例2】求解下列线性方程组

化简后的有效方程组出现(0=d)型式不兼容方程，则无解化简后的有效方程组出现(0=d)型式不兼容方程，则无解。

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪ x1−7x2+6x3=2 2x1+3x2−8x3=3 x1+10x2−14x3=6 { x1−7x2+6x3=2 2x1+3x2−8x3=3 x1+10x2−14x3=6

第一步，先列出增广矩阵，

⎛⎝⎜⎜⎜⎜121−73106−8−14|2|3|6⎞⎠⎟⎟⎟⎟(1−76|223−8|3110−14|6)

第二步，用高斯消元法化简，化简成阶梯矩阵

第2行减去第1行*2，第3行减去第2行

⎛⎝⎜⎜⎜⎜100−71706−200|2|−1|5⎞⎠⎟⎟⎟⎟(1−76|2017−20|−1000|5)

导出最后一个方程：

0x1+0x2+0x3=50x1+0x2+0x3=5

这个方程是不可能成立的，所以原线性方程组无解。

这种形式的方程叫做 {0=d} 方程，其中d是非零数，这种叫做不相容方程，也是自相矛盾的方程。

{0=d} 方程是一种自相矛盾的方程，左边全是0，右边是一个非零，这是自相矛盾的，是不相容的，所以无解。

化简后导出(0=d)形式的方程，方程组无解化简后导出(0=d)形式的方程，方程组无解

判断有解无解总结：

对于 Ax=b方程组

通过高斯消元法，化简，化成阶梯行方程组

1）先看看是否出现{0=d}形式的不相容方程，如果出现，无解

2）有解的情况下，再看看有效方程个数是否小于未知数个数，如果是，则有无穷多个解。如果正好相等，则有唯一解。

二。齐次线性方程组，非零解，零解

齐次线性方程组，就是方程组的等式右边全部是0的方程组，只有系数矩阵，不需要增广矩阵，所以不会出现{0=d}形式的不相容方程。所以不会出现无解的情况，只需要考虑是多个解，还是唯一解。

对于齐次线性方程组，有多个解叫做有非零解。唯一解叫做零解。多个解叫做有非零解。唯一解叫做零解。

对于Ax=0的齐次线性方程组，列出其系数矩阵（不需要增广矩阵），使用高斯消元法化简，化为阶梯形矩阵，化简后，判断有效方程组个数是否小于未知数个数，

如果有效方程组个数小于未知数个数，叫做有非零解（多个解）如果有效方程组个数小于未知数个数，叫做有非零解（多个解）

如果等于，叫做只有零解（唯一解）如果等于，叫做只有零解（唯一解）

三。什么是矩阵的秩（zhi`zhi`），什么是detA?

∗∗detA∗∗就是矩阵A的行列式的值∗∗detA∗∗就是矩阵A的行列式的值

什么叫做矩阵的秩？

将矩阵用高斯消元法化简后，非零行的行数叫做行秩，非零列的列数叫做列秩。

矩阵的秩是方阵经过初等变换后的非零行行数或非零列列数矩阵的秩是方阵经过初等变换后的非零行行数或非零列列数。

可以将矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是极大无关组中所含向量的个数。

定义：A={aij}m×n的不为零的子式得最大阶数称为矩阵A的秩A={aij}m×n的不为零的子式得最大阶数称为矩阵A的秩。

记做rArA，或者rankArankA

特别规定零矩阵的秩就是零。

若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r< min(m,n)时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。

由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n，

通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵，满秩矩阵detA≠0detA≠0

不满秩矩阵就是奇异矩阵，奇异矩阵detA=0detA=0

由行列式性质知道，矩阵A的转置AT的秩与A的秩是一样的。

四。通过矩阵的秩（zhi`zhi`）来判断线性方程组无解，有多个解，唯一解的问题

线性方程组什么时候无解，有多个解，唯一解？

1.对于非齐次线性方程组，用矩阵的秩r(A)来判断

对线性方程组进行初等变换（高斯消元法），化为最简型（阶梯形）矩阵，

考查系数矩阵r(A)，增广矩阵r(A,b)，以及方程组未知数个数n

如果系数矩阵的秩r(A)小于增广矩阵的秩r(A,b)，r(A)

如果系统矩阵的秩小于方程组未知数个数，r(A)=r(A,b)

如果系统矩阵的秩等于方程组未知数个数，r(A)=r(A,b)=n，那么方程组有唯一解r(A)=r(A,b)=n，那么方程组有唯一解。

2.对于齐次线性方程组，用行列式的值 detA来判断。

不存在无解的情况

判断detA，如果detA==0，则有非零解（无穷多个解）如果detA==0，则有非零解（无穷多个解）

判断detA，如果detA≠0，则只有零解（只有唯一解）如果detA≠0，则只有零解（只有唯一解）